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Ecuacion Cuadrática

La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + c igual a cero.
ecuacion general de segundo grado

Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación lineal o de primer orden)

Método de solución de la ecuación cuadrática


Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨
forma canonica de la ecuacion cuadratica

Se procede a completar un trinomio cuadrado perfecto con la expresión polinomio de grado 2

Para lo cual se suma y resta termino para completar trinomio cuadrado perfecto

completacion del trinomio cuadrado perfecto, que puede escribirse como

ecuacion cuadratica simplificada primer paso

Ahora simplemente se resuelve esta ecuación aprovechando que el término termino tcp puede despejarse

solucion de la ecuacion cuadratica

El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de segundo grado

El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo ¨+¨ y ¨-¨ de la x que se obtuvo De esta manera se tiene
raices de la ecuacion de segundo grado

Si discriminante mayor a cerola ecuación tiene dos raíces reales diferentes entre sí

Si discriminante igual a cero las dos raíces son reales e iguales

Si discriminante menor que cero las dos raíces son complejas conjugadas

Ejemplos numéricos

Primer ejemplo, 2x2 – x – 1 = 0

Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1

Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula
solucion primer ejemplo

Ambas soluciones son reales y diferentes entre sí. Note que discriminante mayor que cero , en este ejemplo en particulardiscriminante igual a nueve

Segundo ejemplo, 9x2 – 6x + 1 = 0

Se identifican los coeficientes a = 9, b = -6 y c = 1

Se reemplazan los coeficientes en la fórmula
solucion segundo ejemplo

Ambas soluciones son reales y e iguales entre sí. Note que discriminante igual a cero

Tercer ejemplo, x2 + x + 1 = 0

Se identifican los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 1

Se reemplazan los coeficientes en la fórmula
solucion tercer ejemplo

Ambas soluciones son complejas conjugadas. Note que discriminante menor que cero , para esta ecuación se obtuvo discriminante igual a menos 3

Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación
cuadrática

primera propiedad de las raices de la ecuacion cuadratica

Demostración

demostracion de la primera propiedad de las raices de la ecuacion cuadratica /// segunda propiedad de las raices de la ecuacion cuadratica

Demostración

demostracion de la segunda propiedad de las raices de la ecuacion cuadratica

Problemas que conducen a ecuaciones cuadráticas

Ejemplo 1

Un Avión realiza un vuelo de 1200 millas. Si aumenta su velocidad en 80 millas por hora el recorrido puede hacerse en media hora menos. Cuál es su velocidad de vuelo?
Sea V la velocidad a encontrar
Asumiendo una velocidad constante el tiempo para volar las 1200 millas es 1200 dividido v recuerde que tiempo

es igual a espacio/velocidad

Si recorre la misma distancia pero 80 millas por hora más el tiempo será 1200 dividido v mas 80

Si restamos los tiempos tenemos que la diferencia es media hora resta de tiempos

Operemos

operacion de simplificacion ejemplo uno de aplicacion de la ecuacion cuadratica

Lo cual es lógico ya que el Avión avanza hacia su destino (la velocidad no puede ser negativa ni 0)

solucion al ejemplo uno de la aplicacion real de la ecuacion cuadratica

La velocidad del Avión es 400 millas por hora (No se toma en cuenta la respuesta negativa ya que carece de sentido como solución)

Ejemplo 2

Un terreno rectangular tiene 12 metros cuadrados de área y su perímetro es de 14 metros. Cuáles son las dimensiones del terreno?

Sea "x" el ancho y sea "y" el largo del terreno.

Tenemos que el área es el producto del largo por el ancho por tanto se tiene
primera ecuacion ejemplo dos

El perímetro es la suma de los lados del rectángulo luego
segunda ecuacion ejemplo dos

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Despejamos x de (2) para reemplazarlo en (1)

valor de x en el ejemplo dos

Luego

ecuacion cuadratica para el ejemplo dos de aplicacion de la ecuacion cuadratica

Se multiplica por -1 a ambos lados de la ecuación

solucion al ejemplo dos de la aplicacion real de la ecuacion cuadratica

Si reemplazamos en x ambas soluciones tenemos que x puede ser 7 – 4 que es 3 o también 7 – 3 que es 4 por tanto no importa el orden las dimensiones siempre serán 3 y 4 metros (esto sucede porque el ancho y largo son nombres subjetivos y dependen de cómo se vea el rectángulo)

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Referencias